{"id":719,"date":"2024-08-22T16:39:15","date_gmt":"2024-08-22T16:39:15","guid":{"rendered":"https:\/\/editorialkali.com.mx\/?page_id=719"},"modified":"2024-10-08T07:16:27","modified_gmt":"2024-10-08T07:16:27","slug":"calculo-diferencial","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/editorialkali.com.mx\/?page_id=719","title":{"rendered":"C\u00e1lculo Diferencial"},"content":{"rendered":"\n

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P\u00e1gina principal<\/a><\/p>\n\n\n\n

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En pr\u00e1cticamente cualquier situaci\u00f3n de inter\u00e9s en la ciencia y en la ingenier\u00eda hay cantidades cuyo valor cambia con el tiempo a las cuales denominaremos variables. Uno de los problemas b\u00e1sicos del C\u00e1lculo lo es el de determinar la magnitud de cada uno de esos cambios, as\u00ed como la raz\u00f3n existente entre los
correspondientes a dos variables cualesquiera.
Percibimos que una variable cambia cuando su valor es distinto en dos momentos determinados, es decir, por el cambio de su valor en el tiempo. Podemos decir que la variaci\u00f3n del tiempo, y por lo tanto el cambio en el valor del tiempo, es lo que nos permite advertir cambios en las otras cantidades variables. \u201cTodo cambia\u201d conforme pasa (cambia) el tiempo.
En fin, tenemos que la magnitud del cambio de una cantidad variable es la diferencia entre los valores de la variable, correspondientes a dos momentos determinados. Si lo que interesa es determinar tales cambios (y la raz\u00f3n entre dos cualesquiera de ellos), cuando estos ocurren en un intervalo infinitamente
peque\u00f1o (de tiempo), estamos hablando entonces de cambios instant\u00e1neos o infinitesimales. Cada uno de estos cambios infinitesimales ser\u00e1 llamado diferencial y este ser\u00e1 el concepto b\u00e1sico del C\u00e1lculo Diferencial.
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Incremento y Diferencial<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Los conceptos de cambio y raz\u00f3n de cambio son sumamente importantes en las ciencias b\u00e1sicas y de la ingenier\u00eda. El cambio o incremento de una cantidad variable no es m\u00e1s que la diferencia entre dos de sus valores, esto es, el valor \u201cnuevo\u201d menos el original, mientras que una raz\u00f3n de cambio es el cociente de
dos de tales incrementos.
Ahora bien, con frecuencia interesar\u00e1 conocer c\u00f3mo est\u00e1n relacionados los cambios de las distintas variables que intervienen en un fen\u00f3meno, particularmente para hacer predicciones \uf0becon un grado aceptable de certidumbre\uf0be de lo que ocurrir\u00e1 con el valor de alguna variable en particular (variable dependiente o funci\u00f3n), sabiendo o suponiendo c\u00f3mo cambiar\u00e1 el valor de otra de ellas (variable independiente o simplemente variable).<\/p>\n\n\n\n

Esto puede hacerse con relativa facilidad cuando se conoce la regla de correspondencia entre las variables de inter\u00e9s, ya que en tal caso s\u00f3lo hay que evaluar la funci\u00f3n en los puntos de inter\u00e9s y calcular la diferencia. Sin embargo, hay situaciones \uf0bedurante el proceso de modelaci\u00f3n de un fen\u00f3meno, o cuando la informaci\u00f3n disponible es, por ejemplo, una tabla de valores\uf0be en que no se conoce la regla de correspondencia. En tales casos resulta sumamente \u00fatil poder estimar la magnitud del incremento de la funci\u00f3n a partir de la magnitud del incremento de la variable y de la informaci\u00f3n disponible en el \u201cpunto de partida\u201d, es decir, de lo que se conoce de la funci\u00f3n para el valor original o inicial de la variable, como el valor de la funci\u00f3n o la rapidez con la que cambia su valor en ese punto.<\/p>\n\n\n\n

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PW_3 Incremento y diferencial.pdf<\/a>
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El asunto de la recta tangente<\/strong><\/p>\n\n\n\n

El esquema curricular, presente en las escuelas de ingenier\u00eda de Latinoam\u00e9rica, comenz\u00f3 a instrumentarse a mediados del siglo XX. Seg\u00fan este esquema, el curr\u00edculo se presenta en tres etapas: Ciencias B\u00e1sicas, Ciencias de la Ingenier\u00eda e Ingenier\u00eda Aplicada. Adem\u00e1s, dentro de ese primer bloque de materias, el de las Ciencias B\u00e1sicas, muy probablemente aparezcan, primeramente, los cursos de Matem\u00e1ticas y luego los de F\u00edsica (y, tal vez, Qu\u00edmica o Biolog\u00eda). Esto obliga a que los cursos de Matem\u00e1ticas se presenten de manera totalmente descontextualizada de las Ciencias de la Ingenier\u00eda e, incluso, de la F\u00edsica b\u00e1sica.
De esta manera, si en el primer curso de C\u00e1lculo se quieren utilizar ejemplos que sean comprensibles a los estudiantes, tendr\u00e1n que plantearse en el contexto de situaciones ya abordadas, desde el bachillerato. Por tal motivo, en el caso de la derivada, la \u201caplicaci\u00f3n\u201d generalmente utilizada es la de la recta tangente, ya que este concepto es abordado desde el bachillerato, o incluso desde la ense\u00f1anza b\u00e1sica.<\/p>\n\n\n\n

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PW_4 Recta tangente.pdf<\/a>
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Raz\u00f3n de cambio y funci\u00f3n derivada<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Para comenzar a hablar de la raz\u00f3n de cambio podemos referirnos, por ejemplo, a la rapidez con la que se mueve un autom\u00f3vil cuando recorre una carretera. As\u00ed, si recorri\u00f3 una carretera entre dos ciudades, de 60 km de longitud, en un tiempo de 40 minutos, es decir, en 2\/3 de hora, diremos que se movi\u00f3 con una velocidad media (o promedio) de km\/h, lo que quiere decir que, si se hubiera desplazado con velocidad constante, esta tuvo que haber sido de 90 km\/h, y que, si se hubiera movido una hora con esa misma velocidad, hubiera recorrido 90 km.
Ahora bien, es de esperar que el autom\u00f3vil no se haya movido todo el tiempo con la misma velocidad, pudo ocurrir que el autom\u00f3vil se haya detenido por alg\u00fan tiempo (velocidad cero) o, incluso, que se haya detenido y, enseguida, tomado el camino en el sentido opuesto al que llevaba originalmente (velocidad negativa), haciendo esto durante alg\u00fan tiempo, antes de retomar el sentido original del viaje.
Podemos preguntarnos entonces sobre la manera en la que se movi\u00f3 el autom\u00f3vil de una ciudad a otra, minuto a minuto, o segundo a segundo, lo que nos lleva a la necesidad de conocer la posici\u00f3n del autom\u00f3vil en cualquier momento, es decir la funci\u00f3n de posici\u00f3n , donde ser\u00eda el tiempo (medido, por ejemplo, en minutos o en horas) a partir del momento en el que el autom\u00f3vil parti\u00f3 de la primera ciudad, y ser\u00eda la distancia (muy probablemente medida en kil\u00f3metros) a la que se encuentra el autom\u00f3vil del punto de partida.
Pues bien, la idea de la velocidad instant\u00e1nea resulta de considerar un momento dado y otro infinitamente pr\u00f3ximo al primero, midiendo entonces la raz\u00f3n entre los cambios instant\u00e1neos de la posici\u00f3n y el tiempo, es decir, entre sus diferenciales.<\/p>\n\n\n\n

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PW_5 Raz\u00f3n_cambio Funci\u00f3n_derivada.pdf<\/a>

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Aproximaci\u00f3n polin\u00f3mica<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Este documento trata sobre el desarrollo en serie de potencias de las funciones trascendentes. Antecedentes importantes de estos conceptos los encontramos a mediados del siglo XVIII, en la Introducci\u00f3n al An\u00e1lisis de los Infinitos, (Introductio in Anaysin Infinitorum<\/em>, 1748) del genial matem\u00e1tico Leonhard Euler, en donde define (y clasifica) las funciones trascendentes que seguimos usando hasta hoy en d\u00eda, y obtiene su desarrollo en serie.<\/p>\n\n\n\n

En aquella \u00e9poca, uno de los principales usos del desarrollo en serie de potencias era la evaluaci\u00f3n de alguna de esas funciones, para un valor dado de la variable, recurriendo, para ello, a un polinomio aproximante, obtenido al truncar la serie. Actualmente, eso ya no es un problema de gran inter\u00e9s, ya que contamos con diversos instrumentos de c\u00e1lculo que proporcionan el valor de una funci\u00f3n con gran precisi\u00f3n y \u201cal instante\u201d.<\/p>\n\n\n\n

Sin embargo, la idea de polinomio aproximante es algo que sigue siendo importante, en procesos de modelaci\u00f3n, en particular cuando se desconoce la regla de correspondencia de la funci\u00f3n, pero se conoce el valor de la funci\u00f3n, as\u00ed como el de su derivada y, eventualmente, el de su derivada segunda, todo ello, para un mismo valor de la variable.<\/p>\n\n\n

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Archivo PW_6A Aproximaci\u00f3n polin\u00f3mica.pdf<\/a><\/p>\n\n\n\n


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Graficaci\u00f3n con C\u00e1lculo Diferencial<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Anteriormente se han estudiado algunos conceptos que pueden utilizarse para describir gr\u00e1ficamente el comportamiento de una funci\u00f3n, partiendo de su regla de correspondencia; por ejemplo, las as\u00edntotas de la funci\u00f3n describen el comportamiento de esta para valores grandes de la variable, tambi\u00e9n se consideraron las funciones definidas mediante cocientes, poniendo atenci\u00f3n en los valores de la variable en los que el denominador se anula.<\/p>\n\n\n\n

Aqu\u00ed se retoma el asunto del trazado de la gr\u00e1fica de las funciones, considerando aquella informaci\u00f3n que se puede obtener a partir de las funciones derivada primera y derivada segunda, de la funci\u00f3n dada.
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PW_6B-Graficacion-con-ayuda-del-calculo-diferencial.pdf<\/a><\/p>\n\n\n\n


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Puntos estacionarios y valores extremos<\/strong><\/p>\n\n\n\n

En algunos problemas de inter\u00e9s, en las ciencias de la ingenier\u00eda, se tiene la necesidad de describir el comportamiento\u201d de una funci\u00f3n, conforme se recorre el valor de la variable (de izquierda a derecha), identificando cuando la funci\u00f3n crece o decrece, cuando la tangente a la gr\u00e1fica de la funci\u00f3n es horizontal (paralela al eje de abscisas) o vertical (paralela al eje de ordenadas), o cuando la gr\u00e1fica presenta una concavidad hacia arriba (o hacia abajo), luego de lo cual se pueden encontrar los valores de la variable para los cuales la funci\u00f3n tiene un valor extremo (m\u00e1ximo o m\u00ednimo), o bien un punto de inflexi\u00f3n, que es d\u00f3nde la gr\u00e1fica cambia su sentido de concavidad. De eso trata este documento.<\/p>\n\n\n\n

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PW_6C-puntos-estacionarios-Y-valores-extremos.pdf<\/a><\/p>\n\n\n\n



P\u00e1gina principal<\/a><\/p>\n\n\n\n

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